Выбор ответа Middle Собственные значения и SVD обновлено
Собственные векторы симметричной матрицы
Вопрос
Что гарантированно верно для вещественной симметричной матрицы, например ковариационной?
Попробуйте сами
Выберите вариант, и откроется разбор.
Показать ответ и разбор
Коротко
Правильный ответ: Собственные значения вещественные, а векторы можно выбрать ортонормированными. Спектральная теорема: симметричную матрицу можно записать как A = QΛQᵀ с ортогональной Q и вещественной диагональной Λ.
Варианты ответа
- Все собственные значения строго положительные, а матрица обратима
- Все собственные значения различны, поэтому собственные векторы определены однозначно
- Собственные векторы совпадают со строками матрицы после нормировки
- Собственные значения вещественные, а векторы можно выбрать ортонормированнымиправильный ответ
Разбор
Спектральная теорема: симметричную матрицу можно записать как A = QΛQᵀ с ортогональной Q и вещественной диагональной Λ. На этом стоит PCA.
- Положительность нужна дополнительно: ковариационная матрица положительно полуопределена, её значения ≥ 0, а у произвольной симметричной бывают и отрицательные.
- Совпадающие значения возможны (у единичной матрицы все равны 1).
- Строки к собственным векторам отношения не имеют.
Ответьте сами, а не прочитайте
В тренажёре вопрос попадёт в повторения и вернётся, когда начнёт забываться. Плюс билеты с зачётом: 20 вопросов, не больше 2 ошибок.