Выбор ответа Senior Собственные значения и SVD обновлено
Степенной метод
Вопрос
Берём случайный вектор и много раз делаем v ← Av / |Av|. К чему сходится v для типичной матрицы?
Попробуйте сами
Выберите вариант, и откроется разбор.
Показать ответ и разбор
Коротко
Правильный ответ: К собственному вектору с наибольшим по модулю собственным значением. Разложим v по собственным векторам: после k шагов компонента при λᵢ умножится на λᵢᵏ, и доминирующая по модулю быстро перевесит остальные.
Варианты ответа
- К собственному вектору с наибольшим по модулю собственным значениемправильный ответ
- К собственному вектору с наименьшим собственным значением матрицы
- К нулевому вектору, если все собственные значения меньше единицы
- К первой строке матрицы, нормированной на единичную длину
Разбор
Разложим v по собственным векторам: после k шагов компонента при λᵢ умножится на λᵢᵏ, и доминирующая по модулю быстро перевесит остальные. Скорость определяется отношением |λ₂/λ₁|. Так считают PageRank и первые компоненты PCA на больших данных. Условие: у начального вектора должна быть ненулевая компонента вдоль доминирующего направления и доминирующее значение единственно по модулю.
- Наименьшее получают обратным степенным методом с A⁻¹.
- Нормировка на каждом шаге не даёт вектору уйти в ноль или бесконечность.
- Строки матрицы здесь ни при чём.
Ответьте сами, а не прочитайте
В тренажёре вопрос попадёт в повторения и вернётся, когда начнёт забываться. Плюс билеты с зачётом: 20 вопросов, не больше 2 ошибок.